最近在全國(guó)制訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，一位專家對(duì)數(shù)學(xué)的作用概括了三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

　　傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育往往從基本的概念或定義出發(fā)，以簡(jiǎn)練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結(jié)論。這固然可以使學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)按部就班地學(xué)到盡可能多的內(nèi)容，并體會(huì)到一種絲絲入扣、天衣無(wú)縫的美感。但是，過(guò)分強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，就可能使學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)這樣的完美無(wú)缺、無(wú)懈可擊是與生俱來(lái)、天經(jīng)地義的，反而使思想處于一種僵化狀態(tài)，在生動(dòng)活潑的現(xiàn)實(shí)世界面前手足無(wú)措、一籌莫展，甚至使學(xué)生感到學(xué)了很多據(jù)說(shuō)非常重要、十分有用的數(shù)學(xué)知識(shí)以后，卻不會(huì)應(yīng)用或無(wú)法應(yīng)用，甚至還覺(jué)得毫無(wú)用處。

　　從今年開(kāi)始，數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐和活動(dòng)也已首次列入全國(guó)高級(jí)中學(xué)的教學(xué)計(jì)劃。

　　世間萬(wàn)事萬(wàn)物都有數(shù)和形兩個(gè)側(cè)面，數(shù)學(xué)就是撇開(kāi)了事物其他方面的狀態(tài)和屬性，單純研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)學(xué)是各門(mén)科學(xué)的重要基礎(chǔ)，更是人類文明的重要組成部分和堅(jiān)實(shí)支柱，現(xiàn)在，大學(xué)本科數(shù)學(xué)類的專業(yè)已經(jīng)成了一個(gè)最熱門(mén)的專業(yè)。

　　但是，要顯示數(shù)學(xué)強(qiáng)大的生命力，需要將實(shí)際問(wèn)題化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析和計(jì)算，最后將所求解答回歸實(shí)際，看能否有效地回答問(wèn)題，如果不能，再?gòu)念^調(diào)整，直到基本滿意為止。這個(gè)過(guò)程，特別是其中第一步，就是數(shù)學(xué)建模，即為所考察的實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。

　　數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的重要橋梁。數(shù)學(xué)建模對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新型人才非常重要

　　“數(shù)學(xué)模型”和“數(shù)學(xué)建模”這兩個(gè)名詞出現(xiàn)得比較晚，在我國(guó)興起并被廣泛使用，不過(guò)是近三十多年的事，但數(shù)學(xué)模型的建立或數(shù)學(xué)建模，古已有之。

　　公元前三世紀(jì)歐幾里得所著的《幾何原本》是公認(rèn)的數(shù)學(xué)經(jīng)典。他用嚴(yán)格演繹的方法，利用古希臘時(shí)代積累的眾多幾何知識(shí)建立了一個(gè)完整的體系，一座宏偉的幾何大廈，為現(xiàn)實(shí)世界的空間形式構(gòu)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型十分有效，在各方面都有成功的應(yīng)用，并且在它的基礎(chǔ)上發(fā)展出一整套幾何學(xué)、以及以演繹推理為核心的數(shù)學(xué)研究方法，至今都發(fā)揮著巨大作用。

　　此外，開(kāi)普勒根據(jù)第谷的大量天文觀測(cè)數(shù)據(jù)總結(jié)出的行星運(yùn)動(dòng)三大規(guī)律，后來(lái)牛頓利用與距離平方成反比的萬(wàn)有引力公式，從牛頓力學(xué)的原理出發(fā)，給出了嚴(yán)格的證明，同樣是數(shù)學(xué)建模取得輝煌成功的例子。一些重要的力學(xué)、物理學(xué)的基本微分方程，如經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律、電動(dòng)力學(xué)中的麥斯韋爾方程、流體力學(xué)中的歐拉方程與納維-斯托克斯方程，以及量子力學(xué)中的薛定諤方程等，都是抓住學(xué)科本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，并成為相關(guān)學(xué)科的核心內(nèi)容和基本理論框架。

　　1998年菲爾茲獎(jiǎng)得主、英國(guó)數(shù)學(xué)家高爾斯(T.Gowers)認(rèn)為：數(shù)學(xué)所研究的并非真正的現(xiàn)實(shí)世界，而只是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，即所研究的那部分現(xiàn)實(shí)世界的一種虛構(gòu)和簡(jiǎn)化的版本。

　　按高爾斯的說(shuō)法，數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界，并要接受現(xiàn)實(shí)世界無(wú)情而公正的檢驗(yàn)。

　　仔細(xì)思考，整數(shù)，實(shí)數(shù)，以及歐氏幾何，線性空間，群論，微積分，集合論，乃至混沌，分形等等，有哪一個(gè)不是某一方面的數(shù)學(xué)模型呢？！整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史就是不斷建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)其研究逐步深化的歷史。

　　從事數(shù)學(xué)建模，好比構(gòu)建一座房屋，一旦房屋初具規(guī)模，就成了一個(gè)數(shù)學(xué)模型。以后數(shù)學(xué)家們所做的工作，就是在這個(gè)基礎(chǔ)上，對(duì)建筑進(jìn)行內(nèi)部整理與裝修。不論應(yīng)用數(shù)學(xué)還是純粹數(shù)學(xué)，都是在數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)上加以發(fā)揮和深化。

　　同時(shí)，數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。要真正使學(xué)生走近數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)并熱愛(ài)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和其他科學(xué)以及整個(gè)外部世界隔離開(kāi)來(lái)，關(guān)起門(mén)來(lái)只在數(shù)學(xué)內(nèi)部的概念、方法和理論中兜圈子。這樣做不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

　　我們的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生身臨其境地了解知識(shí)創(chuàng)造過(guò)程，否則素質(zhì)教育就是一句空話

　　長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)課程往往自成體系，處于自我封閉狀態(tài)，一直沒(méi)有有效的方式，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與豐富多彩、生動(dòng)活潑的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，以致學(xué)生在學(xué)了許多據(jù)說(shuō)是非常重要、十分有用的數(shù)學(xué)知識(shí)以后，卻不會(huì)應(yīng)用或無(wú)法應(yīng)用，有些甚至還覺(jué)得毫無(wú)用處。

　　數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等課程，為數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系在教學(xué)過(guò)程中打開(kāi)了通道，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)提供了一種有效的方式，并起到了積極的促進(jìn)作用。這是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)成功的嘗試，也是對(duì)素質(zhì)教育的一個(gè)重要的貢獻(xiàn)。

　　不僅如此，任何科學(xué)，包括數(shù)學(xué)科學(xué)在內(nèi)，在本質(zhì)上都是革命的，是不斷創(chuàng)新、發(fā)展，與時(shí)俱進(jìn)的，可是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程與這種創(chuàng)新、發(fā)展的實(shí)際進(jìn)程卻不免背道而馳。

　　傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育往往從基本的概念或定義出發(fā)，以簡(jiǎn)練的方式合乎邏輯地推演出所要求的結(jié)論。這固然可以使學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)按部就班地學(xué)到盡可能多的內(nèi)容，并體會(huì)到一種絲絲入扣、天衣無(wú)縫的美感。但是，過(guò)分強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，就可能使學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)這樣的完美無(wú)缺、無(wú)懈可擊是與生俱來(lái)、天經(jīng)地義的，反而使思想處于一種僵化狀態(tài)，在生動(dòng)活潑的現(xiàn)實(shí)世界面前手足無(wú)措、一籌莫展。

　　其實(shí)，現(xiàn)在看來(lái)美不勝收的一些重要的數(shù)學(xué)思想，包括函數(shù)、微積分、集合論等等，在一開(kāi)始往往是混亂粗糙、難以理解甚至不可思議的，但由于蘊(yùn)含著創(chuàng)造性的思想，卻又最富有生命力和發(fā)展前途，經(jīng)過(guò)許多乃至幾代數(shù)學(xué)家的努力，有時(shí)甚至經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的激烈爭(zhēng)論，才逐步去粗取精、去偽存真，使局勢(shì)趨于明朗，最終出現(xiàn)了現(xiàn)在為大家公認(rèn)、甚至寫(xiě)進(jìn)教科書(shū)里的系統(tǒng)理論。

　　要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)及素質(zhì)，固然要灌輸給他們以知識(shí)，但更重要的是要使他們了解數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程。

　　這不僅要有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容的講授，介紹數(shù)學(xué)的思想方法和發(fā)展歷史，更要?jiǎng)?chuàng)造一種環(huán)境，使學(xué)生能身臨其境地介入數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造過(guò)程；否則，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，加強(qiáng)素質(zhì)教育，不免是一句空話。

　　今年開(kāi)始數(shù)學(xué)建模首次列入全國(guó)高中教學(xué)計(jì)劃。總之，要讓學(xué)生親口嘗嘗梨子的味道

　　在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要主動(dòng)采取措施，鼓勵(lì)并推動(dòng)學(xué)生解決一些理論或?qū)嶋H的問(wèn)題。這些問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的答案，沒(méi)有固定的求解方法，沒(méi)有指定的參考書(shū)，沒(méi)有規(guī)定的數(shù)學(xué)工具，甚至也沒(méi)有成型的數(shù)學(xué)問(wèn)題；主要靠學(xué)生獨(dú)立思考、反復(fù)鉆研并相互切磋，去形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而分析問(wèn)題的特點(diǎn)，尋求解決問(wèn)題的方法，得到有關(guān)的結(jié)論，并判斷結(jié)論的對(duì)錯(cuò)與優(yōu)劣。

　　總之，要讓學(xué)生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗(yàn)一下數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，取得在課堂里和書(shū)本上無(wú)法代替的寶貴經(jīng)驗(yàn)和切身感受。毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)以及數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的開(kāi)展，可以在這方面為學(xué)生提供一個(gè)有益的平臺(tái)，是值得引起充分重視的。

　　應(yīng)該特別指出，通過(guò)數(shù)學(xué)建模將一個(gè)看來(lái)與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用數(shù)學(xué)方法成功地予以解決，這是重要的能力與素質(zhì)。這種能力和素質(zhì)的培養(yǎng)與提高，對(duì)一個(gè)合格的數(shù)學(xué)工作者、特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，對(duì)不少將來(lái)要走向各行各業(yè)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是十分值得重視、應(yīng)該著重加以培養(yǎng)的。

　　但現(xiàn)在的大學(xué)生，由于在中學(xué)里受的多半是拼命刷題的訓(xùn)練，而大學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程也大都單純著眼于知識(shí)的傳播和理論上的完美，這是他們過(guò)去從未經(jīng)歷過(guò)的一種訓(xùn)練，他們?cè)谶@方面的培養(yǎng)實(shí)際上極為欠缺，因而特別值得引起重視。這種培養(yǎng)和訓(xùn)練，絕不是可有可無(wú)的錦上添花，而是實(shí)實(shí)在在的雪中送炭。

　　這樣，數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路，而且是啟迪數(shù)學(xué)心靈的必勝之途。這樣集知識(shí)、能力和素質(zhì)的培養(yǎng)與考察三位一體，必將有力地促進(jìn)創(chuàng)新型優(yōu)秀人才的培養(yǎng)，得到學(xué)生的認(rèn)真參與和歡迎，也是對(duì)素質(zhì)教育的重要貢獻(xiàn)。

　　數(shù)學(xué)建模對(duì)人才培養(yǎng)的重要作用和深遠(yuǎn)影響無(wú)疑值得我們大家高度重視。正因?yàn)檫@樣，從今年開(kāi)始，數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐和活動(dòng)也已首次列入全國(guó)高級(jí)中學(xué)的教學(xué)計(jì)劃。

　　最近在全國(guó)制訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，一位專家對(duì)數(shù)學(xué)的作用概括了三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

　　我舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子對(duì)此稍加說(shuō)明！希望廣大同學(xué)能很好地體會(huì)這三句話，并且努力地實(shí)踐這三個(gè)方面的要求。

　　生活中的數(shù)學(xué)1

　　為了嚴(yán)禁在高鐵列車上吸煙，可以看到鐵路公安的如下提示：“車內(nèi)吸煙違法，處罰煙火報(bào)警，導(dǎo)致緊急停車，危及行車安全。對(duì)違法吸煙者根據(jù)《鐵路安全管理案例》處500元以上2000元以下罰款；情節(jié)嚴(yán)重的予以拘留”。

　　這個(gè)告示大家自然是明白的。但從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，“以上”是“>”而不是“≥”，以下是“<”而不是“≤”。如果真正咬文嚼字，就不能罰500元，只能罰501元；也不能罰2000元，只能罰1999元，這就十分麻煩了。在數(shù)學(xué)上說(shuō)，這涉及到開(kāi)區(qū)間與閉區(qū)間的區(qū)別，實(shí)在是含糊不得的。這個(gè)告示的文字如果能改動(dòng)一下，那就更好了。< p="">

　　這樣的情況實(shí)際上多有所見(jiàn)。在升等升級(jí)或評(píng)獎(jiǎng)的很多場(chǎng)合，總有一個(gè)評(píng)審委員會(huì)來(lái)投票決定結(jié)果。如果委員會(huì)有12人，而規(guī)定“得票超過(guò)其總?cè)藬?shù)的2/3者當(dāng)選”，若1人得8票，能當(dāng)選嗎？如果要此人當(dāng)選，應(yīng)將規(guī)定改為“得票大于、等于總?cè)藬?shù)的2/3者當(dāng)選”。大家將來(lái)如果有機(jī)會(huì)主持投票選舉，一定要注意。這樣做，絕不是吹毛求疵，而是堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的嚴(yán)格性，避免造成工作上的麻煩，這就是數(shù)學(xué)帶來(lái)的好處。

　　生活中的數(shù)學(xué)2

　　在高速公路上，常有電子屏幕顯示前面的路況，供駕駛?cè)藛T參考。好多城市的高速路上，提醒前方某一路口出現(xiàn)堵車，往往是“××路口車流量大”。然而，這是不是一個(gè)確切而準(zhǔn)確的堵車提示呢？車流量應(yīng)該是單位時(shí)間(每小時(shí))內(nèi)行駛過(guò)的車輛數(shù)，車流量大，說(shuō)明通過(guò)這個(gè)路口的車輛數(shù)多，怎么能說(shuō)是“堵車”呢？如果這條道上一輛車都沒(méi)有，其車流量為零，那這是堵車還是暢通呢？因此，單獨(dú)用車流量的大小來(lái)刻畫(huà)堵車，并不正確。

　　生活中的數(shù)學(xué)3

　　拐點(diǎn)，是微積分中的一個(gè)概念，說(shuō)的是函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)。在日常生活中，我們也經(jīng)常聽(tīng)到拐點(diǎn)這個(gè)詞。股市中的“拐點(diǎn)”，其實(shí)是股市價(jià)格的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。股票的價(jià)格有漲有落，股民關(guān)心股票價(jià)格的發(fā)展趨勢(shì)，股票的價(jià)格由降到升(或相反)的點(diǎn)就稱為拐點(diǎn)，這與微積分中的拐點(diǎn)不同。新冠病毒防控的拐點(diǎn)則是每天的增量開(kāi)始減少的點(diǎn)，這時(shí)所說(shuō)的拐點(diǎn)，和微積分中的拐點(diǎn)概念就是一致的。這說(shuō)明，同一個(gè)名詞，在生活中用于不同的場(chǎng)合，其意義可以是不同的。我們學(xué)數(shù)學(xué)的，要會(huì)得分清其間的差別，才能有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)。

　　中國(guó)科學(xué)院院士 李大潛